Breve historia del infinito. Una interpretación marxista (Parte I)

0
393
infinito

infinitoIntroducción

Si preguntamos a cualquier persona por el significado del infinito encontraremos, normalmente, respuestas relacionadas con Dios, la religión y la metafísica. Sin embargo, desde que la filosofía materialista surgió en la antigua Grecia el infinito como problema filosófico fue arrebatado como monopolio de la religión; desde entonces, a través de los siglos, la ciencia ha estado tropezando con el infinito a pesar de los intentos por expurgarlo de su presencia.

 

La resistencia obstinada a incorporar al infinito a nuestro entendimiento del universo tiene que ver con el sentido común –cuya expresión elaborada es la lógica formal–, con el hecho de que en la vida diaria y cotidiana los seres humanos nos relacionamos con objetos y hechos que tienen un principio y un fin en el espacio y en el tiempo, reconocemos los objetos porque son discernibles y finitos en relación a otros, aprendemos a contar empezando por la unidad, sabemos que no podemos dividir un objeto sin que en algún momento se pierda de nuestra vista, sabemos que nuestra vida tiene un comienzo y un fin; pero la experiencia cotidiana tiende a omitir el hecho de que todo fin es relativo en una cadena infinita de hechos que se relacionan, que no existe principio ni fin absolutos. Naturalmente cada fenómeno visto de manera aislada tiene un principio y un fin, pero su principio y fin es parte de un universo interconectado sin principio ni fin. Debido a que en la naturaleza existe una interacción universal, el infinito retorna a la ciencia, volviéndose un concepto elemental sin el cual ciencias como las matemáticas modernas, el cálculo, la física cuántica y la Teoría del Caos no podrían funcionar.

Así, la ciencia moderna nos ha mostrado que el infinito real está implícito en la naturaleza: no sólo se trata de la posibilidad abstracta de sumar o restar infinitamente (la noción común del infinito como una abstracción matemática puramente ideal), los diversos niveles estructurales de la realidad (mundo subatómico, nivel molecular, los cuerpos estudiados por la física de Newton, las galaxias, cúmulos de galaxias, supercúmulos, etc.) son infinitos relativos, universos infinitos contenidos en otros infinitos (el mundo subatómico es infinitamente pequeño en relación al mundo que nos desenvolvemos todos los días, y éste, a su vez, es infinitamente pequeño en relación a nuestra galaxia); después de que Dalton retomara la teoría atómica de la materia, cada avance en el estudio del átomo ha demostrado que no existe tal cosa como la partícula elemental, la ciencia se ha encontrado con un mundo subnuclear de partículas elementales que no cesan de crecer y no dejan de mostrar sus estructura interna, hay universos infinitos contenidos en una mota de polvo. Para los tiempos de vida de las partículas subatómicas, que se miden en millonésimas de segundo, el tiempo de vida del hombre aparece como infinitamente grande, pero nuestra vida es infinitamente pequeña con relación a la formación de la vida en la tierra; hay infinitos momentos contenidos en un momento finito. Para el cálculo diferencial e integral, la recta no es más que un fragmento infinitamente pequeño de una curva, las rectas paralelas no son más que fragmentos de un espacio curvo que se intersectan en un punto infinitamente grande en relación a dichas rectas. Si descontamos la teoría del Big Bang –teoría a la que volveremos–, la ciencia nos muestra un universo tan infinitamente grande como infinitamente pequeño, tan infinito en el espacio como en el tiempo.

El infinito en la escuela Jónica

Los antiguos filósofos griegos presocráticos –sobre todo los de la escuela Jónica– solían aceptar el infinito con mucha mayor naturalidad que en épocas posteriores, por la sencilla razón de que ellos partían de un método dialéctico espontáneo para comprender la realidad. Estos profundos pensadores daban por sentado que el universo era infinito en el espacio y en el tiempo y la cuestión radicaba sólo en saber cuál era la materia original que daba origen al universo que observamos ahora. Para Heráclito el universo era un fuego eternamente vivo cuyo desarrollo y movimiento eran eternos. Para Anaximandro, la materia infinita e indeterminada original (que llamaba “apeiron”) no sólo había dado origen a nuestro planeta y a los animales acuáticos como los peces, de los cuales evolucionó el hombre; sino que en su eterno movimiento origina una y otra vez universos diferentes. Para Anaxágoras el origen de todo eran las llamadas “homeomerías” o semillas infinitamente pequeñas y, a diferencia de los atomistas, estas semillas también eran infinitamente divisibles en el espacio:

“En efecto –señala Anaxágoras en una profunda y dialéctica reflexión- “no hay mínimo en lo pequeño, sino que siempre hay algo más pequeño (es imposible, en realidad, que esto no sea), y también de lo grande hay siempre algo más grande. Y éste es igual a lo pequeño en cuanto al número, en relación consigo mismo, todo es a la vez grande y pequeño.”1

Los atomistas, un mundo infinito en lo grande pero finito en lo pequeño

Los viejos atomistas creían que los átomos eran indivisibles e indestructibles –ponían una barrera infranqueable a lo infinitamente pequeño para darle una base sólida al conocimiento de la naturaleza, átomo significa “sin división”– pero concebían a los átomos como eternos en el tiempo, a la vez que concebían al universo como infinito en el espacio; curiosamente los atomistas rechazaron la existencia de lo infinitamente pequeño pero lo aceptaron en la eternidad y en la inmensidad; en lo infinitamente grande, en la existencia de infinitos mundos y estrellas generados por los átomos. Tito Lucrecio Caro –el gran heredero y sistematizador del atomismo y ateísmo antiguo– desarrolló en su maravilloso poema “De rerum natura” (Sobre la naturaleza) con agudos argumentos para sostener la imposibilidad de la divisibilidad infinita de la materia; aunque equivocados, porque el átomo es un universo que ha demostrado su divisibilidad, son sumamente interesantes:

Si después no hay nada menor, estará
De infinitas partículas formado el más pequeño elemento;
La mitad siempre hallará su mitad
Y no habrá límite a la división en parte alguna.
¿Cómo distinguirás, entonces, del universo la más pequeña de las cosas?2

Para Lucrecio la idea de la infinita divisibilidad llevaba a un descenso infinito que desafiaba al sentido común. Resultaría que la parte más pequeña del universo contendría tantas partes como la más grande. Pero en realidad, como ya había observado Anaxágoras y Heráclito, la noción de grande y pequeño es relativo y lo infinitamente pequeño es, al mismo tiempo, infinitamente grande; nuestro universo está compuesto de infinitos universos, cada uno con su estructura y leyes propias. Por tanto, lo infinitamente pequeño es tan inagotable como lo infinitamente inmenso. Aunque los atomistas erraron en su idea de la indivisibilidad atómica, no cabe ninguna duda que su aporte al conocimiento de una de las estructuras más relevantes de la composición del universo –un nivel de la realidad cuyo conocimiento será recuperado en1803 por John Dalton, más de 1,800 años después– ha sido uno de los hitos más grandes en la historia de la humanidad.

Si bien Lucrecio rechazaba lo infinitamente pequeño, aportó brillantes argumentos para demostrar la infinitud del universo en el espacio. Como afirmaba:

“No tiene término el Universo en parte alguna…
Ni bordes tiene, ni límite, ni fin.
Y no importa en qué parte del mundo te halles:
Estés donde estés, desde el sitio que ocupas,
Infinito siempre será en todas sus direcciones.”3

Si se supone que el universo es finito en el espacio debe haber algún límite que lo contenga, Lucrecio refuta esta idea haciendo un experimento mental en donde un hipotético sujeto lanza un dardo en el borde del universo:

“Dado que todo el espacio que exista se constituye finito, si alguno se adelanta al borde extremo y lanza postrero un volátil dardo, ¿prefieres que así arrojado se dirija con poderosa fuerza hacia donde fue enviado y vuele a la larga, o supones que algo puede obstruir y detenerlo?”

Si la flecha prosigue su camino lo que se creía el límite no lo era, y si la flecha se clava en una barrera, ese punto –para que la flecha se clave en él– debe tener extensión y por tanto no es el final del universo. Curiosamente fue un filósofo pitagórico –Arquitas– quien expresó la misma idea de otro modo:

“Supongamos que me encuentro en el mismísimo borde del Universo, en el mismo firmamento celeste. ¿Puedo extender la mano o un bastón al espacio exterior o no lo puedo hacer? Es absurdo suponer que no lo puedo hacer; peros si la extiendo, lo exterior ha de ser cuerpo o espacio…en cada uno de esos casos podremos pasar a esa nueva divisoria obtenida y hacer la misma pregunta. Como el bastón tropezará cada vez con algo nuevo, resulta evidente que eso sucederá infinitas veces.”4

El argumento es brillante, y aún se puede utilizar para refutar la idea de un comienzo absoluto del universo, aunque no con dardos ni bastones; efectivamente, si es verdad que todo el universo surgió de una singularidad infinitamente pequeña, queda la embarazosa cuestión de qué sucedía con los campos de dicha partícula; que sucedía, por ejemplo, con el campo eléctrico de la singularidad. Dado que el campo eléctrico, de acuerdo a la ley de Coulomb, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre dos cargas, sin que llegue a ser nunca igual a cero –hasta la partícula más infinitamente pequeña tiene una influencia infinita en todo el universo por despreciable que ésta sea– entonces la singularidad debía extender su existencia –y con ella la del universo– hasta el infinito. Pero si la hipotética singularidad infinitamente pequeña resulta, al mismo tiempo, en un universo infinito ¿por qué no asumimos de una vez que el universo es infinito y la singularidad –de haber existido realmente– haber sido un fenómeno más en un universo infinito?

Los terribles problemas de la indivisibilidad, los eleatas y la teoría atomista

Los eleatas –más o menos contemporáneos de los primeros atomistas– demostraron las contradicciones implícitas al movimiento –incluido el tema del infinito– para fundamentar una visión rígida y estática del verdadero Ser; pero a pesar de sus fines conservadores –y que el fondo su filosofía estaba equivocado– mostraron paradojas que demuestran el carácter dialéctico del movimiento. Los eleatas proporcionaron brillantes argumentos que mostraban que una partícula no puede ser indivisible, evidentemente sus argumentos iban en contra de la teoría atomista.

Toda partícula para existir, sostuvieron los eleatas, debe ocupar un lugar en el espacio, poseer extensión, pero esto implica su posible división al infinito en tanto cualquier partícula, por pequeña que sea, debe ser extensa. Zenón planteó un experimento mental para probar esto: supongamos un segmento de recta igual a la partícula más pequeña que podemos imaginar, que suponemos indivisible (el átomo), y luego movemos esa partícula de tal forma que pase por ese segmento en reposo; es claro que habrá un momento en que una parte de la partícula esté dentro del segmento y otra esté afuera; la partícula tendrá dos partes –la que está dentro del segmento y la que está fuera de él–; por lo tanto, la partícula no puede carecer de partes, la partícula es divisible exactamente por la línea que separa las dos partes de la partícula.

Es imposible suponer que átomos sin extensión puedan componer cuerpos extensos –agregaron los eleatas– de la misma manera que es imposible obtener cualquier magnitud sumando ceros. Si suponemos a los átomos con extensión debemos aceptar su divisibilidad. La disyuntiva que los eleatas plantearon a los atomistas es: si dices que los átomos componen el mundo, éstos deben ser extensos; pero si los supones extensos deben ser divisibles. En ambos casos tu teoría nos lleva a contradicciones que la invalidan, si los átomos (sin división) son divisibles, entonces, no son átomos; pero si no son divisibles, entonces, no tienen extensión y no componen el mundo.

Atomistas como Demócrito trataron de superar estas brillantes objeciones aduciendo que los átomos tienen extensión pero son físicamente indivisibles pues son absolutamente lisos y no existe cuña que pueda introducirse en ellos para dividirlos. La objeción de Demócrito es una simple estratagema sofística, pero al menos hizo el intento. Ahora sabemos que los elatas tenían razón en abstracto –aunque los atomistas fueron más acertados, en concreto, con su teoría atómica– y aunque la división del átomo no puede entenderse en términos mecánicos como suponían los viejos atomistas, la fisión atómica es tan real como la infame bomba de Hiroshima y Nagazaki. El argumento de los eleatas sigue siendo válido para sostener la infinita divisibilidad de la materia; en efecto, si todas las partículas subatómicas tienen propiedades como campo, spin, “color”, momento magnético, etc., se debe admitir que estas propiedades –así como otras tantas que ahora desconocemos– revelan la estructura propia de dichas partículas, su naturaleza interna; es decir, su composición. Por lo tanto son tan inagotables como el universo mismo.

El descubrimiento de todo un “ejército” constantemente creciente de partículas subatómicas ha demostrado que la material es inagotable y no existe “partícula elemental” sin composición. Ted Grant y Alan Woods señalan el hecho: “Durante siglos los científicos han intentado en bajo encontrare los “ladrillos de la materia”, la última y más pequeña partícula. Hace cien años pensaron que la había encontrado en el átomo (palabra griega que significa “indivisible”). El descubrimiento de las partículas subatómicas llevó a los físicos a penetrar más profundamente en la estructura de la materia. En 1928, los científicos se imaginaban que habían descubierto las partículas más pequeñas –protones, electrones y fotones, de los que se compondría todo el mundo material-.Esto se vino abajo más tarde, con el descubrimiento del neutrón, el positrón, el deuterón y toda una ristra de partículas, incluso más pequeñas, con una existencia a cual más escurridiza: neutrinos, mesones pi, mesones mu, mesones k, etc. El ciclo vital de algunas de estas partículas es tan evanescente, quizás la mil millonésima parte de un segundo, que han sido calificadas de “partículas virtuales”, algo totalmente impensable en la era precuántica5El último integrante de este ejército en crecimiento constante es el Boson de Higgs, partícula conocida más popularmente con el inadecuado y horroroso mote de “Partícula de Dios” –en broma sus descubridores afirman que hubieran preferido llamarla la “partícula maldita” por lo increíblemente difícil que fue su detección-. La vida media de esta partícula es del increíblemente evanescente “zeptosegundo”, es decir, la miltrillonésima parte de un segundo.

Zenón aportó, también, inmortales paradojas sobre la infinitud del movimiento y el espacio: las paradojas de la “dicotomía” y la de “Aquiles y la tortuga” muestran estas contradicciones. La primera de estas paradojas sostiene que si lanzamos cualquier objeto a un objetivo situado a una distancia dada –por ejemplo 10 metros– el objeto, antes de llegar al objetivo, deberá pasar por la mitad de la distancia que lo separa de éste, luego por la mitad de esa mitad… y así hasta el infinito sin que el objeto consiga llegar a su destino. Uno puede dividir cualquier magnitud a la mitad tantas veces como se quiera sin que se llegue nunca al cero absoluto. La famosa paradoja de “Aquiles y la tortuga” consiste en una hipotética carrera entre el mitológico Aquiles –el de los pies ligeros- y una tortuga. Aquiles da a la tortuga una ventaja de 100 metros; cuando la tortuga alcanza esa distancia, Aquiles –que en nuestro ejemplo es 10 veces más rápido- emprende su carrera; cuando Aquiles alcanza los 100 metros, la tortuga habrá avanzado 10 metros; cuando Aquiles llega a los 10 metros, la tortuga avanza 1 metro; cuando Aquiles llega al metro la tortuga avanzó un decímetro, luego un centímetro…y así hasta el infinito sin que Aquiles logre nunca alcanzar a la tortuga y ganar la carrera.

De manera plástica e intuitiva los eleatas estaban presentando, con sus paradojas, las magnitudes infinitesimales que serán recuperadas muchos siglos después por Leibniz y Newton para fundar el cálculo diferencial e integral. Algunos matemáticos modernos afirman que con el concepto de límite del cálculo diferencial e integral –la magnitud finita a la que tienden los números infinitesimales– se han resuelto las paradojas de Zenón. Sin embargo la cosa no es tan sencilla; más bien la matemática moderna ha sacado más contradicciones a la luz: qué clase de límite finito es aquél que contiene infinitos números, cómo es posible un límite que se supone ilimitado, un límite al que nunca se llega. Estas son la clase de contradicciones que las matemáticas modernas han tenido que aceptar a regañadientes para poder funcionar normalmente. Para el pensamiento dialéctico no existe problema alguno en aceptar la contradicción como real, sin intentar diluirla o negarla en forma alguna.

Los pitagóricos y la raíz cuadrada de 2 pitagoras raiz cuadrada de 2

La escuela pitagórica era a la vez una escuela filosófica-científica y una secta religiosa. Era una orden cerrada que exigía secrecía y tenía toda una serie de ritos absurdos como no comer alubias, no recoger nada que se ha caído y presumía el don de la adivinación. Los pitagóricos creían en la transmigración de las almas y en toda una serie de símbolos con poderes sobrenaturales. Desde el punto de vista de sus aportaciones científicas, los pitagóricos sostenían que el cosmos –que viene del vocablo griego que significa orden, proporción– puede ser entendido en términos matemáticos, de lo que deducían la conclusión de que todas las cosas provenían del número, entendido como una entidad abstracta trascendente al mundo material y situada en otro plano de la existencia.

Era el mundo vuelto al revés –propio del idealismo filosófico– pero contenía la idea correcta de que el funcionamiento del cosmos puede ser expresado en términos matemáticos. Así, los pitagóricos, encontraron patrones matemáticos en la música y en las propiedades geométricas de la naturaleza. Relacionaron la longitud de las cuerdas y las notas correspondientes, creyeron que las distancias entre los planetas corresponden a las longitudes entre las cuerdas, creando una “armonía de las esferas” o música celestial que los mortales no podemos escuchar. Relacionaron las dimensiones de la naturaleza con los números: el 1 con el punto, el 2 con la línea –además el 2 representa las dualidades opuestas como alma y cuerpo, limitado e ilimitado, etc. –, el 3 con la superficie, el 4 con el sólido. La suma de estos números 1+2+3+4 = 10 que para los pitagóricos era un número mágico y especial, simbolizado por la tétrada: un triángulo compuesto por 10 esferas, símbolo esencial para los pitagóricos. La esfera era una figura especial y perfecta puesto que carece de contradicciones –de ahí la idea de la armonía de las esferas–, dado que cualquier punto en la superficie es equidistante del centro. Y aunque seguramente tomaron conocimientos ya existentes entre los babilonios, a los pitagóricos se les atribuye el famoso teorema de Pitágoras –que relaciona los catetos de un triángulo rectángulo con su hipotenusa–, y la terna pitagórica –serie de tres números que satisfacen la relación entre los catetos y la hipotenusa en un triángulo rectángulo-.

Los pitagóricos estaban obsesionados con la regularidad, la mensurabilidad y la perfección. Creían que las relaciones matemáticas del mundo se reducían a números naturales y racionales. Los números debían ser perfectos e inmutables para que contrastaran con la imperfecta y mutable realidad material. Pero pronto se enfrentaron a una contradicción que trataron de mantener en secreto porque minaba las bases de su teoría filosófica. Descubrieron que la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1 es inconmensurable con respecto al lado del cuadrado; es decir, la relación entre ambas magnitudes no se puede expresar en números racionales, no se puede expresar la relación exactamente, lo que nos lleva directamente a la noción de infinito: la expresión decimal de esta magnitud irracional, es infinita y no periódica. Lo que encontraron los pitagóricos fue la raíz cuadrada de 2 que equivale a 1,414213562… con infinitos decimales no periódicos. Con las calculadoras modernas podemos llegar a una mayor aproximación a este número irracional:

1. 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 387 534 327 641 572 735 013 846 230 912 297 024 924 836 055 850 737 212 644 121 497 099 935 831 413 222 665 927 505 592 755 799 950 501 152 782 060 571 470 109 559 971 605 970 274 534 596 862 014 728 517 418 640 889 198 609 552 329 230 484 308 714 321 450 839 762 603 627 995 251 407 989 687 253 396 546 331 808 829 640 620 615 258 352 395 054 745 750 287 759 961 729 835 575 220 337 531 857 011 354 374 603 408 498 847 160 386 899 970 699 004 815 030 544 027 790 316 454 247 823 068 492 936 918 621 580 578 463 111 596 668 713 013 015 618 568 987 237 235 288 509 264 861 249 497 715 421 833 420 428 568 606 014 682 472 077 143 585 487 415 565 706 967 765 372 022 648 544 701 585 880 162 075 847 492 265 722 600 208 558 446 652 145 839 889 394 437 092 659 180 031 138 824 646 815 708 263 010 059 485 870 400 318 648 034 219 489 727 829 064 104 507 263 688 131 373 985 525 611 732 204 024 509 122 770 022 694 112 757 362 728 049 573 810 896 750 401 836 986 836 845 072 579 936 472 906 076 299 694 138 047 565 482 372 899 718 032 680 247 442 062 926 912 485 905 218 100 445 984 215 059 112 024 944 134 172 853 147 810 580 360 337 107 730 918 286 931 471 017 111 168 391 658 172 688 941 975 871 658 215 212 822 951 848 847 208 969 463 386 289 156 288 276 595 263 514 054 226 765 323 969 461 751 129 160 240 871 551 013 515 045 538 128 756 005 263 146 801 712 740 265 396 947 024 030 051 749 531 886 292 563 138 518 816 347 800 156 936 917 688 185 237 868 405 228 783 762 938 921 430 065 586 956 868 596 459 515 550 164 472 450 983 689 603 688 732 311 438 941 557 665 104 088 391 429 233 811 320 605 243 362 948 531 704 991 577 175 622 854 974 143 899 918 802 176 243 096 520 656 421 182 731 672 625 753 959 471 725 593 463 723 863 226 148 274 262 220 867 115 583 959 992 652 117 625 269 891 754 098 815 934 864 008 345 708 518 147 223 181 420 407 042 650 905 653 233 339 843 645 786 579 679 651 926 729 239 987 536 661 721 598 257 886 026 336 361 782 749 599 421 940 377 775 368 142 621 773 879 919 455 139 723 127 406 689 832 998 989 538 672 882 285 637 869 774 966 251 996 658 352 577 619 893 932 284 534 473 569 479 496 295 216 889 148 549 253 890 475 582 883 452 609 652 409 654 288 939 453 864 662 574 492 755 638 196 441 031 697 983 306 185 201 937 938 494 005 715 633 372 054 806 854 057 586 799 967 012 137 223 947 582 142 630 658 513 221 740 883 238 294 728 761 739 364 746 783 743 196 000 159 218 880 734 785 761 725 221 186 749 042 497 736 692 920 731 109 636 972 160 893 370 866 115 673 458 533 483 329 525 467 585 164 471 075 784 860 246 360 083 444 911 481 858 765 555 428 645 512 331 421 992 631 133 251 797 060 843 655 970 435 285 641 008 791 850 076 036 100 915 946 567 067 688 360 557 174 007 675 690 509 613 671 940 132 493 560 524 018 599 910 506 210 816 359 772 643 138 060 546 701 029 356 997 104 242 510 578 174 953 105 725 593 498 445 112 692 278 034 491 350 663 756 874 776 028 316 282 960 553 242 242 695 753 452 902 883 876 844 642 917 328 277 088 831 808 702 533 985 233 812 274 999 081 237 189 254 072 647 536 785 030 482 159 180 188 616 710 897 286 922 920 119 759 988 070 381 854 333 253 646 021 108 229 927 929 307 287 178 079 988 809 917 674 177 410 898 306 080 032 631 181 642 798 823 117 154 363 869 661 702 999 934 161 614 878 686 018 045 505 553 986 913 115 186 010 386 375 325 004 558 186 044 804 075 024 119 518 430 567 453 368 361 367 459 737 442 398 855 328 517 930 896 037 389 891 517 319 587 413 442 881 784 212 502 191 695 187 559 344 438 739 618 931 454 999 990 610 758 704 909 026 088 351 763 622 474 975 785 885 836 803 745 793 115 733 980 209 998 662 218 694 992 259 591 327 642 361 941 059 210 032 802 614 987 456 659 968 887 406 795 616 739 185 957 288 864 247 346 358 588 686 449 682 238 600 698 335 264 279 905 628 316 561 391 394 255 764 906 206 518 602 164 726 303 336 297 507 569 787 060 660 685 649 816 009 271 870 929 215 313 236 828 135 698 893 709 741 650 447 459 096 053 747 279 652 447 709 409 924 123 871 061 447 054 398 674 364 733 847 745 481 910 087 288 622 214 958 952 959 118 789 214 917 983 398 108 378 827 815 306 556 231 581 036 064 867 587 303 601 450 227 320 882 935 134 138 722 768 417 667 843 690 529 428 698 490 838 455 744 579 409 598 626 074 249 954 916 802 853 077 398 938 296 036 213 353 987 532 050 919 989 360 751 390 644 449 576 845 699 347 127 636 450 716 327 915 470 159 773 354 863 893 942 325 727 754 003 826 027 478 567 417 258 095 141 630 715 959 784 981 800 944 356 037 939 098 559 016 827 215 403 458 158 152 100 493 666 295 344 882 710 729 239 660 232 163 823 826 661 262 683 050 257 278 116 945 103 537 937 156 882 336 593 229 782 319 298 606 467 978 986 409 208 560 955 814 261 436 363 100 461 559 433 255 047 449 397 593 399 912 541 953 230 093 217 530 447 653 396 470 662 761 166 175 351 875 464 620 967 634 558 738 616 488 019 884 849 747 926 404 506 544 489 691 004 079 421 181 692 579 685 756 378 488 149 898 641 685 499 491 635 761 448 404 702 103 398 921 534 237 703 723 335 311 564 594 438 970 365 316 672 194 904 935 188 290 580 630 740 134 686 264 167 247 011 065 346 349 391 640 714 628 556 798 017 793 381 442 404 526 913 706 660 977 763 878 486 623 800 339 232 437 047 411 533 187 253 190 601 916 599 645 538 115 788 841 380 843 323 210 533 767 461 812 178 014 296 092 832 411 362 752 540 887 372 905 129 407 339 479 433 061 943 956 936 702 079 429 515 878 228 349 321 931 666 411 130 154 959 469 837 897 767 434 443 539 337 709 957 134 988 407 890 850 815 892 366 070 088 658 105 470 949 790 465 722 988 880 892 461 282 816 013 133 701 029 080 290 999 745 647 849 581 545 614 648 715 516 390 502 419 857 906 131 093 458 783 306 200 262 207 372 471 676 685 455 499 904 994 085 710 809 925 759 928 893 236 615 438 271 955 005 781 625 133 038 153 146 577 907 926 868 500 806 984 428 479 152 424 275 441 026 805 756 321 565 322 061 885 751 225 113 063 937 025 362 927 161 968 251 259 192 025 216 058 701 189 596 732 244 239 267 423 734 490 764 646 727 375 347 964 598 819 149 807 931 718 002 423 855 453 886 038 368 310 800 779 182 466 462 754 117 444 250 018 727 779 518 164 383 451 463 461 299 020 763 343 017 968 554 385 631 667 723 518 389 336 667 042 222 110 939 144 930 287 963 812 839 889 311 731 308 430 042 125 550 185 498 506 529 455 637 766 031 461 255 909 104 611 384 768 282 359 592 477 228 629 042 642 736 163 264 585 443 392 877 263 860 343 149 804 896 397 363 329 754 885 925 681 149 296 836 126 725 898 573 833 216 436 663 487 023 477 302 610 106 130 507 298 611 534 129 948 808 774 473 111 229 542 652 751 653 665 911 730 142 360 626 525 869 077 198 217 037 098 104 644 360 477 226 739 282 987 415 259 306 956 206 384 710 827 408 218 490 673 723 305 874 302 970 924 289 948 173 924 407 869 375 284 401 044 399 048 520 878 851 914 193 541 512 900 681 735 170 306 938 697 059 004 742 515 765 524 807 844 736 214 410 501 620 084 544 412 225 595 620 298 472 594 035 280 190 679 806 809 830 039 645 398 568 593 045 862 526 063 779 745 355 992 774 729 906 488 874 545 124 249 607 637 801 086 390 019 105 809 287 476 472 075 110 923 860 595 019 543 228 160 208 879 621 516 233 852 161 287 522 851 802 529 287 618 325 703 717 285 740 676 394 490 982 546 442 218 465 430 880 661 058 020 158 472 840 671 263 025 459 379 890 650 816 857 137 165 668 594 130 053 319 703 659 640 337 667 414 610 495 637 651 030 836 613 489 310 947 802 681 293 557 331 890 551 970 520 184 515 039 969 098 663 152 512 411 611 192 594 055 280 856 498 931 958 983 456 233 198 368 349 488 080 617 156 243 911 286 631 279 784 837 197 895 336 901 527 760 054 980 551 663 501 978 555 711 014 055 529 763 384 127 504 468 604 647 663 183 266 116 518 206 750 120 476 699 109 872 191 044 474 403 268 943 641 595 942 792 199 442 355 371 870 429 955 924 031 409 171 284 815 854 386 600 538 571 358 363 981 630 945 240 755 700 932 516 824 344 168 240 836 197 927 337 282 521 546 224 696 153 321 702 682 995 097 908 903 459 485 887 834 943 961 620 435 842 249 739 718 711 395 892 730 509 219 705 491 717 696 160 044 558 089 942 787 888 036 916 943 289 459 514 722 672 292 612 485 069 617 316 380 941 082 186 004 528 610 269 654 757 630 431 025 602 715 231 396 948 213 551 982 140 971 654 909 731 999 283 492 567 409 749 039 229 712 634 869 341 457 493 319 804 171 807 611 196 390 227 866 407 592 243 416 776 246 623 623 891 311 027 034 330 457 636 814 112 832 132 630 858 223 945 621 959 808 661 293 999 620 123 415 617 631 817 431 242 008 901 498 384 856 048 087 986 460 839 359 649 236 651 429 681 257 731 432 291 456 871 682 762 199 611 827 826 953 157 498 380 262 465 175 905 410 397 618 128 760 421 638 613 450 221 326 272 775 661 244 113 361 077 519 555 774 950 865 636 067 378 665 062 318 564 069 912 280 187 574 178 549 466 125 327 599 769 796 059 776 059 075 648 910 666 101 583 841 720 281 853 043 211 904 465 775 255 427 754 379 872 605 488 173 619 826 758 168 628 329 526 078 993 222 668 360 283 851 351 228 105 931 859 102 864 150 815 705 631 971 731 518 313 625 024 359 041 463 212 239 217 663 398 268 936 825 315 053 005 989 154 702 909 537 193 266 207 341 123 494 743 367 884 690 201 390 497 842 852 163 414 429 214 589 558 287 847 669 394 646 426 781 221 904 978 563 635 526 336 827 805 186 009 869 924 893 778 600 239 876 916 980 765 662 194 389 854 437 080 594 643 336 233 381 058 745 816 235 475 600 136 592 435 242 657 143 083 465 545 768 002 370 814 675 732 525 470 255 074 763 747 163 506 785 159 917 369 379 325 103 268 276 062 864 591 461 820 472 148 637 037 077 192 692 682 362 333 472 037 924 596 469 181 052 613 915 308 628 029 144 096 548 256 387 309 273 042 654 466 292 904 589 606 375 191 871 146 934 536 197 332 478 957 270 703 153 093 090 192 119 919 999 361 576 500 350 398 405 406 742 538 792 752 792 272 473 356 677 060 783 791 138 448 893 626 136 765 706 026 360 031 513 295 209 539 520 285 489 738 448 625 613 492 441 470 860 708 660 267 634 997 879 342 087 583 612 194 711 699 422 384 848 259 591 430 452 810 706 260 150 896 913 530 301 772 006 271 705 440 209 066 951 491 527 459 771 970 594 769 547 409 521 028 787 255 785 688 002 219 371 774 355 811 079 393 088 338 455 864 827 729 100 862 955 456 614 130 672 123 084 874 022 712 105 868 632 338 823 741 388 442 893 815 544 464 710 575 565 146 843 570 294 663 506 289 387 356 986 868 837 648 032 651 952 841 465 351 739 530 273 612 013 742 030 098 673 983 851 432 190 043 602 898 269 829 352 939 941 412 923 058 038 456 502 270 721 681 516 194 101 144 982 630 136 490 087 704 839 848 838 609 065 336 859 905 458 389 520 318 564 804 149 327 214 239 086 516 499 943 165 920 796 595 356 943 072 311 291 162 928 679 751 715 668 890 543 932 203 569 129 332 457 020 806 719 444 049 730 494 398 140 822 782 960 279 942 454 108 316 667 592 142 483 518 272 381 720 504 103 927 428 880 155 622 338 079 614 751 243 351 473 102 128 454 594 489 944 499 600 075 243 751 957 011 668 341 744 749 079 588 209 951 783 676 802 323 651 767 497 230 148 745 774 272 599 476 096 219 843 271 483 529 861 119 027 287 358 490 521 797 590 837 419 748 602 670 605 374 623 153 003 937 521 236 786 775 284 869 219 585 713 755 426 968 482 783 631 786 110 993 368 014 391 590 597 484 285 805 451 613 023 014 397 905 701 610 889 862 777 961 075 067 333 267 604 865 492 925 139 978 139 053 588 227 689 373 220 494 148 394 013 556 035 656 044 214 017 612 060 513 180 689 198 996 260 618 483 185 340 183 623 782 172 663 758 045 524 719 626 617 492 542 285 280 457 144 204 857 834 211 322 800 852 870 420 548 899 234 127 855 481 236 761 537 707 104 254 469 868 521 991 122 835 426 634 999 712 748 366 076 246 241 820 736 466 617 128 394 748 473 280 474 430 403 344 107 200 428 727 127 567 027 956 758 242 926 271 945 458 053 002 666 489 965 079 569 778 178 621 942 172 005 237 165 369 467 704 195 111 912 704 624 836 051 130 289 046 437 751 148 694 887 849 615 118 841 471 910 001 255 883 836 660 677 208 411 235 153 558 811 267 789 571 558 590 412 576 261 601 067 513 153 580 212 427 331 871 000 635 824 954 504 099 579 407 254 798 900 316 826 512 373 119 055 668 291 519 430 537 084 893 078 691 974 282 904 903 860 372 311 609 928 342 431 712 225 099 454 715 019 286 664 878 710 795 199 518 005 463 388 384 431 548 172 463 548 024 451 803 084 527 343 100 062 137 103 462 573 306 001 234 973 744 355 818 096 567 846 464 153 390 514 656 919 324 562 353 140 577 919 369 898 842 364 718 352 537 580 525 771 331 120 079 710 406 831 549 266 540 202 604 680 681 839 143 782 721 476 906 324 246 951 712 863 673 844 313 983 337 117 615 941 869 993 466 262 345 373 452 356 794 012 416 809 229 116 360 956 372 167 452 839 170 990 914 664 850 739 205 151 605 604 737 871 061 547 021 699 607 465 693 097 944 261 214 692 561 593 425 649 401 912 298 951 473 254 471 518 126 325 836 889 728 226 283 329 524 035 970 072 786 336 460 459 470 712 417 472 946 877 570 595 815 734 996 284 809 956 783 925 547 424 044 899 188 707 106 967 524 250 774 520 122 936 081 057 414 265 323 472 406 416 214 103 335 334 055 110 452 126 175 035 902 840 374 545 918 645 047 276 243 420 717 709 297 935 401 021 409 646 450 283 683 418 040 758 608 100 140 721 619 247 717 980 985 968 111 540 446 443 728 568 959 286 831 977 797 786 934 641 598 469 745 133 917 741 537 904 877 880 830 022 058 335 046 746 555 323 028 587 325 835…

Y así hasta el infinito. Esto nos lleva a la contradicción de tener una magnitud que no se puede medir exactamente, un número innumerable pero infinito. Esta contradicción causó un profundo shock, los pitagóricos creyeron que habían encontrado un error en la creación de Dios y juraron guardar el secreto. Fue una de las primeras veces en la historia de la filosofía en que se trató de ocultar la verdad para salvar los dogmas de una escuela. Se dice que el pitagórico Hippaso fue arrojado al mar por haber revelado el secreto de lo que ahora conocemos como números irracionales. El celo matemático de los pitagóricos contribuyó al avance de la ciencia pero su dogmatismo, al mismo tiempo, detuvo el desarrollo de las matemáticas durante siglos. Los números irracionales fueron redescubiertos por los árabes durante el siglo V y en la Europa renacentista entre los siglos XVI y XVII. Los números irracionales son fundamentales para medir el volumen de los cilindros, para conocer las propiedades de Pi; la constante Planck es un número irracional. En pocas palabras, lo que los pitagóricos trataron de ocultar es fundamental para la ciencia moderna y la física cuántica.

El universo se vuelve terriblemente finito durante más de mil años

Aristóteles fue uno de los más grandes genios de la antigüedad, su filosofía tendía principalmente al materialismo y su teoría del conocimiento al empirismo; sus contribuciones teóricas abarcan una sorprendente variedad de temas. Era un verdadero enciclopedista que conocía casi todo lo que en su tiempo se podía conocer. Pero Aristóteles retrocedió en puntos fundamentales en relación al materialismo jónico: estableció una perniciosa separación entre la tierra y el cielo; la tierra estaba compuesta de cuatro elementos y los cielos de un quinto elemento llamado éter, la tierra era el centro del universo. Aristóteles encogió infinitamente el universo que para los primeros materialistas se suponía infinito. Para él el infinito sólo era una posibilidad abstracta, la posibilidad de sumar infinitamente, pero rechazaba la existencia del infinito actual, real. Durante la Edad Media se combinará la obsesión con la perfección de Pitágoras y Platón, con la teoría Aristotélica del éter –además de su lógica formal cerrada y unilateral–, para concebir un mundo material imperfecto en el centro del universo, alrededor del cual –lejos de la corrupción terrenal– giraban seis esferas –construidas de un material diferente y superior al terrestre– con sus respectivos planetas anidados en los cinco sólidos perfectos: sólidos cuyos lados eran polígonos regulares. Esta visión dogmática y cerrada del universo dominará la mente de los hombres durante más de mil años de oscurantismo medieval, un mundo que había sido infinito de repente se volvió infinitamente pequeño y estrecho. Nuevas revoluciones sociales y científicas serán necesarias para derribar ese mundo estrecho y sofocante.

La cuadratura del círculo y el número inumerable

A pesar de los intentos de la escuela pitagórica por expulsar al infinito del reino de las matemáticas, el famoso científico heleno Arquímedes se volvió a tropezar con él –en el siglo III a.C.-cuando intentó calcular el área del círculo. Este problema no se podía resolver con la matemática euclidiana que sirve bastante bien para medir distancias y ángulos entre rectas pero que pasa por terribles y embarazosas aventuras cuando las líneas comienzan a curvarse, cuando la escuadra y el compás no son suficientes.

Ya los babilonios habían descubierto que la relación entre el diámetro y el perímetro de la circunferencia se mantenía constante sin importar el área del círculo, al principio calcularon la relación –que ahora conocemos como Pi- en 3, luego en 3.125; en el año 1650 a. C. los egipcios llegaron a una aproximación asombrosa: 3.160496. El mérito de Arquímedes, más que la medición en sí, fue el método que utilizó para establecer la relación entre el círculo y su diámetro y, con ello, lograr una medición más exacta del área del círculo: consistió virtualmente en intentar la cuadratura del círculo y, de paso, reencontrarse con los números irracionales y el infinito.

El método, como se muestra en la figura, consistió en inscribir dentro del círculo un polígono regular con tantos lados que casi tocaran el perímetro del círculo y cuya área, por tanto, se aproximara a la del éste. A partir del polígono inscrito al círculo se pueden construir triángulos isósceles con los cuales se obtiene al área del polígono y una aproximación a la del círculo; además, con los triángulos resultantes se puede construir un cuadrado que tenga aproximadamente la misma área que la del círculo. Lograr un cuadrado con la misma área de un círculo – problema conocido como “la cuadratura del círculo”- había sido un dilema contra el que los filósofos de la antigüedad clásica se habían roto la cabeza. Aunque estrictamente es imposible cuadrar el círculo ya que Pi no es raíz cuadrada de una ecuación polinómica –cosa que se descubrió hasta 1882-, Arquímedes logró una genial aproximación para la resolución virtual de un desafío que hasta ahora es sinónimo de algo imposible. Este método de aproximación se llama “exhausción”; había sido creado por Eudoxo un siglo antes que Arquímedes, aquél lo había aplicado para establecer teoremas relativos a conos y cilindros.

Arquímedes no conocía los números decimales así que tuvo que expresar la relación entre el diámetro y el círculo en forma de desigualdades, calculándola en algún valor entre 3+10/71 y 3+1/7. Con este brillante método Arquímedes rozaba el reino del Cálculo diferencial puesto que calculaba valores cada vez más pequeños (infinitesimales) que se aproximaban infinitamente a un límite sin llegar nunca a él. Esta es la razón de que Pi sea un número irracional; su valor aproximado es 3.141592, el cálculo más exacto se ha hecho con el record de más de dos y medio billones de cifras decimales, que demuestran que en Pi está contenido un infinito inconmensurable. En 1882 se demostró que Pi, además de irracional, es trascendente porque no es raíz de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales; lo que significa que no es un número algebraico: ¡Un número que no es numerable! No sabemos si con el descubrimiento del infinito perdido -de la misma manera que celebró cuando descubrió el principio hidrostático que lleva su nombre- Arquímedes salió desnudo a la calle gritando ¡Eureka!

El universo se vuelve terriblemente finito durante más de mil años

Aristóteles fue uno de los más grandes genios de la antigüedad, su filosofía tendía principalmente al materialismo y su teoría del conocimiento al empirismo; sus contribuciones teóricas abarcan una sorprendente variedad de temas. Era un verdadero enciclopedista que conocía casi todo lo que en su tiempo se podía conocer. Pero Aristóteles retrocedió en puntos fundamentales en relación al materialismo jónico: estableció una perniciosa separación entre la tierra y el cielo; la tierra estaba compuesta de cuatro elementos y los cielos de un quinto elemento llamado éter, la tierra era el centro del universo. Aristóteles encogió infinitamente el universo que para los primeros materialistas se suponía infinito. Para él el infinito sólo era una posibilidad abstracta, la posibilidad de sumar infinitamente, pero rechazaba la existencia del infinito actual, real. Durante la Edad Media se combinará la obsesión con la perfección de Pitágoras y Platón, con la teoría Aristotélica del éter –además de su lógica formal cerrada y unilateral-, para concebir un mundo material imperfecto en el centro del universo, alrededor del cual -lejos de la corrupción terrenal- giraban seis esferas –construidas de un material diferente y superior al terrestre- con sus respectivos planetas anidados en los cinco sólidos perfectos: sólidos cuyos lados eran polígonos regulares. Esta visión dogmática y cerrada del universo dominará la mente de los hombres durante más de mil años de oscurantismo medieval, un mundo que había sido infinito de repente se volvió infinitamente pequeño y estrecho. Nuevas revoluciones sociales y científicas serán necesarias para derribar ese mundo estrecho y sofocante.

————————————————-

Notas

1.- Los filósofos presocráticos, De Homero a Demócrito (fragmentos),SEP, México, 1987, p. 121

2.- Meliujin, S.El problema de lo finito e infinito, Grijalbo, México, p. 20.

3.- Meliujin, S. El problema de lo finito e infinito, Grijalbo, México, p. 160.

4.- Meliujin, S. El problema de lo finito e infinito, Grijalbo, México, pp. 160-161.

5.- Grand, Ted; Woods, Alan,Razón y revolución, Fundación Federico Engels, España, 2002, p.125

6.- Enciclopedia de conocimientos fundamentales, Tomo 5, Siglo XXI, UNAM, México, 2010, p.73.